In matematica, una funzione è definita invertibile quando esiste un’altra funzione che riesce a “scomporla” e a riportarla allo stato originale. In termini più semplici, se attribuiamo ad ogni elemento del dominio della funzione un unico elemento del codominio, allora la funzione è invertibile.

Quando una funzione è invertibile?

La prima condizione fondamentale per l’invertibilità di una funzione è che sia iniettiva. Questo significa che a ogni elemento del dominio corrisponde un unico elemento del codominio, ovvero la funzione non associa mai due elementi diversi dello stesso dominio ad uno stesso elemento del codominio. In altre parole, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine nel codominio, allora la funzione non è invertibile.

Una seconda condizione indispensabile per l’invertibilità è che la funzione sia suriettiva. Ciò significa che ogni elemento del codominio deve avere almeno un antecedente, ovvero deve esistere almeno un elemento nel dominio che l’associa a esso. Se la funzione non è surgettiva, allora non è possibile avere una corrispondenza univoca tra gli elementi del dominio e quelli del codominio, rendendo la funzione non invertibile.

Infine, una terza condizione per l’invertibilità di una funzione è che sia biunivoca, ovvero soddisfi contemporaneamente le condizioni di iniettività e surgettività. Solo se una funzione è biunivoca può essere invertita e ottenere una nuova funzione che restituisca gli elementi del dominio originali.

Come verificare se una funzione è invertibile?

Un modo semplice per verificare se una funzione è invertibile è controllare se il suo grafico passa il test della verticale. Se per ogni retta verticale tracciata sul piano cartesiano questa interseca il grafico della funzione in un solo punto, allora la funzione è invertibile. Altrimenti, se una retta verticale interseca il grafico in più punti, la funzione non è invertibile.

Infine, è importante sottolineare che una funzione non invertibile non ha solo una corrispondenza plurivoca tra gli elementi del dominio e quelli del codominio, ma può anche avere valori assenti. Questi sono gli elementi del codominio che non hanno corrispondenti nel dominio. Quindi, nel caso una funzione non sia invertibile, è necessario specificare le restrizioni sul dominio o codominio per garantire una corrispondenza univoca.

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