Il teorema di Rolle è un principio fondamentale dell’analisi matematica che prende il nome dal matematico francese Michel Rolle. Questo teorema fornisce una condizione necessaria per l’esistenza di almeno un punto in cui la derivata di una funzione si annulla su un intervallo chiuso.

Teorema di Rolle, cos’è?

Formalmente, il teorema di Rolle afferma che se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso [a, b] e differenziabile in un intervallo aperto (a, b), e se f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto c, appartenente all’intervallo aperto (a, b), in cui la derivata prima di f(c) si annulla.

In altre parole, se una funzione assume gli stessi valori ai due estremi di un intervallo e la funzione è differenziabile all’interno di quell’intervallo, allora esisterà almeno un punto all’interno dell’intervallo in cui la pendenza (derivata) della funzione sarà zero.

Questo teorema è una conseguenza diretta del teorema di Fermat, che afferma che se una funzione ha un estremo relativo in un punto, allora la derivata prima di quella funzione in quel punto si annulla.

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema di Rolle, si suppone che la funzione sia continua e differenziabile, e si applica il teorema di Fermat all’intervallo [a, b]. Se la funzione non ha estremi relativi, allora non esisterà un punto c in cui la derivata prima si annulla, il che contraddice l’ipotesi. Pertanto, deve esistere almeno un punto c in cui la derivata prima si annulla.

Applicazione

Il teorema di Rolle ha numerose applicazioni in matematica e fisica. Ad esempio, può essere utilizzato per dimostrare l’esistenza di radici reali di equazioni polinomiali. Inoltre, può essere utilizzato per trovare punti critici di una funzione, che sono punti in cui la derivata prima si annulla e possono corrispondere a minimi o massimi locali della funzione.

Leggi anche Maturità 2023, seconda prova scritta di matematica al Liceo scientifico: dai problemi con funzioni al Teorema di Rolle e Chi era Seneca, l’autore scelto per la seconda prova della Maturità 2023 al liceo classico?